初中数学多解题错例剖析
多解题是我们在平时的学习中经常碰到的一类问题．多解题的分析过程不仅能训练我们思维的灵活性，还能培养思维的缜密性．许多同学都知道解决此类问题要应用分类讨论的思想，但在具体分析时又往往不能全面的考虑，常常会出现漏解的情况，导致失分．如何避免类似错误的产生呢？现略举几例，剖析产生漏解的常见原因及应对策略，供同学们参考．
一、 正确理解题意，培养思维的全面性
例1 一组数据5,7,7,x的中位数与平均数相等，则x的值为
．
错解：由题意得
，所以x=9．
剖析：分析时没有注意到题中四个数不一定是顺序排列的，所以这组数据的中位数不一定是7，应根据x的大小重新排序后确定中位数的值．所以本题应对x的值进行讨论．
正解：（1）当x>7时，解法同上；
（2）当5≤x≤7时，这组数据排列为5，x，7，7，依题意得
，解得x=5；
（3）当x<5时，这组数据排列为x，5，7，7，依题意得
，解得x=5，这与x<5矛盾．
综上所述，x的值为5或9．
例2 一次函数y=kx+b的自变量的取值范围是－3≤x≤6，相应函数值的取值范围是-5≤y≤-2,则这个函数的解析式为
．
错解：依题意可知，当x=6时，y=-2；当x=-3时，y=-5.
则有
解得
所以这个函数的解析式为
．
剖析：本题中的“相应”两字并不一定代表当x=6时，y=-2；当x=-3时，y=-5的对应关系．错解只考虑了当k＞0时的情况，实际上当k＜0时,题设条件也能成立．
正解：（1）设当x=6时，y=-2；当x=-3时，y=-5.则函数的解析式为；
（2）设当x=6时，y=-5；当x=-3时，y=-2．同上可求出
,b=-3，函数的解析式为
．
所以这个函数的解析式为
或．
二、克服思维定势，培养思维的灵活性
例3直角三角形的两条边长分别为6和8,那么这个三角形的外接圆半径等于 .
错解:由勾股定理得，直角三角形斜边的
．而直角三角形的外接圆的直径就是它的斜边，所以这个三角形的外接圆半径等于5．
剖析：本题在审题时受勾股定理中常见的勾股数6,8,10的影响,直接得出斜边长为10的结论,甚至未能完整读题．实际上8也可以作为斜边．
正解：(1)当6,8分别是直角边时,第三边即斜边为10，外接圆半径等于5；
(2)
当6为直角边,8为斜边时,第三边是另一直角边为
，外接圆半径等于4．
所以这个三角形的外接圆半径等于5或4．（想一想6能为斜边吗？）
例4 已知实数a、b满足
错解：由题意知，a、b是方程
的两个实数根，根据根与系数关系得a+b=-2,ab=-2．所以
．
剖析：此种解答受根与系数关系的影响，认为a、b一定是方程
的两个不等实数根．实际上a与b的值也可以相等，应该分类讨论．
正解：(1)当a=b时，原式＝1＋1＝2；
（2）当a≠b时，原式＝-4．
三、注意隐含条件，培养思维的缜密性
例5 当a取什么数时，关于未知数x的方程
只有正实数根？
错解：由题意得
解得
剖析：错解没有关注二次项系数中含有字母a，方程有可能是一元一次方程，应分类讨论．
正解：（1）当a＝0时，原方程是关于x的一次方程，只有正实数根
（2）当a≠0时，原方程是关于x的一元二次方程，当
时只有正实数根．
所以，a的取值范围是
．
四、正确画出图形，培养思维的发散性
例6 若圆O的直径AB为2，弦AC为
，弦AD为
，则S扇形OCD（其中2S扇形OCD＜S圆O）为 ．
错解：如图1所示，过O点分别做OE⊥AC，OF⊥AD，则OA=1，AE=
，AF=
．由此可得，∠AOE＝45°, ∠AOF＝60°.于是∠COD=∠AOD-∠AOC=
2∠AOF-2∠AOE=120°-90°=30°.所以S扇形OCD=
．
剖析：本题中弦AC和弦AD的位置关系并不唯一，在画图时要考虑全面．上述解法只考虑了弦AC和弦AD在圆心的同侧，而忽视了在圆心两侧的情况（如图2）．同上解法可得∠COD=150°，从而求出S扇形OCD=
．
综上所述，S扇形OCD为
或
．
图1图2
例7 为美化环境，计划在某小区内用
错解：分两种情况计算，不妨设AB＝
（1）当AB为底边时，AD＝DB＝
由S△ABC＝
，得CD＝
所以
m．
（2）当AB为腰时，AC＝AB＝
则
，BD＝
所以
m．
图3
图4
剖析：上述解法虽然进行了分类计算，看似正确，其实仍然漏掉一种情况：当AB为腰且三角形为钝角三角形时（如图5），AB＝BC＝
．
图5
综上所述：
（1）当AB为底边时，设AB=m；
（2）当AB为腰且三角形ABC为锐角三角形时，设AC＝AB＝
m；
（3）当AB为腰且三角形ABC为钝角三角形时，设BC＝AB＝
m．
当然，上述出错方式的分类有很多相互叠合的地方，实际上在对多解题进行分析时，要综合考虑各个方面的因素．首先要对所考察的知识点要有一个全面的理解，特别是题中隐含的条件要注意把握，同时对于没有图形的几何题要能全面准确的画出图形再解题；其次审题时要避免对已有经验的盲目模仿，要具体情况具体分析；最后还要对分类结果检验后再汇总出结论．
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